Lineare Algebra Beispiele

$z^{4} - 50 x^{2} + 49 = 0$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $z$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Addiere $50 x^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$z^{4} + 49 = 50 x^{2}$

Schritt 1.2

Subtrahiere $49$ von beiden Seiten der Gleichung.

$z^{4} = 50 x^{2} - 49$

Schritt 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$z = \pm \sqrt[4]{50 x^{2} - 49}$

Schritt 3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$z = \sqrt[4]{50 x^{2} - 49}$

Schritt 3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$z = - \sqrt[4]{50 x^{2} - 49}$

Schritt 3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$z = \sqrt[4]{50 x^{2} - 49}$

$z = - \sqrt[4]{50 x^{2} - 49}$

$z = \sqrt[4]{50 x^{2} - 49}$

$z = - \sqrt[4]{50 x^{2} - 49}$

Schritt 4

Setze den Radikanden in $\sqrt[4]{50 x^{2} - 49}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$50 x^{2} - 49 \geq 0$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Addiere $49$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$50 x^{2} \geq 49$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $50 x^{2} \geq 49$ durch $50$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $50 x^{2} \geq 49$ durch $50$ .

$\frac{50 x^{2}}{50} \geq \frac{49}{50}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $50$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{50 x^{2}}{50} \geq \frac{49}{50}$

Schritt 5.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} \geq \frac{49}{50}$

Schritt 5.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{\frac{49}{50}}$

Schritt 5.4

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 5.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | \geq \sqrt{\frac{49}{50}}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Vereinfache $\sqrt{\frac{49}{50}}$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Schreibe $\sqrt{\frac{49}{50}}$ als $\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{50}}$ um.

$| x | \geq \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{50}}$

Schritt 5.4.2.1.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.4.2.1.2.1

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$| x | \geq \frac{\sqrt{7^{2}}}{\sqrt{50}}$

Schritt 5.4.2.1.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | \geq \frac{| 7 |}{\sqrt{50}}$

Schritt 5.4.2.1.2.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $7$ ist $7$ .

$| x | \geq \frac{7}{\sqrt{50}}$

Schritt 5.4.2.1.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.4.2.1.3.1

Schreibe $50$ als $5^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 5.4.2.1.3.1.1

Faktorisiere $25$ aus $50$ heraus.

$| x | \geq \frac{7}{\sqrt{25 (2)}}$

Schritt 5.4.2.1.3.1.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$| x | \geq \frac{7}{\sqrt{5^{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.4.2.1.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | \geq \frac{7}{| 5 | \sqrt{2}}$

Schritt 5.4.2.1.3.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $5$ ist $5$ .

$| x | \geq \frac{7}{5 \sqrt{2}}$

Schritt 5.4.2.1.4

Mutltipliziere $\frac{7}{5 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$| x | \geq \frac{7}{5 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 5.4.2.1.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.4.2.1.5.1

Mutltipliziere $\frac{7}{5 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$| x | \geq \frac{7 \sqrt{2}}{5 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 5.4.2.1.5.2

Bewege $\sqrt{2}$ .

$| x | \geq \frac{7 \sqrt{2}}{5 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Schritt 5.4.2.1.5.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$| x | \geq \frac{7 \sqrt{2}}{5 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Schritt 5.4.2.1.5.4

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$| x | \geq \frac{7 \sqrt{2}}{5 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Schritt 5.4.2.1.5.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$| x | \geq \frac{7 \sqrt{2}}{5 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 5.4.2.1.5.6

Addiere $1$ und $1$ .

$| x | \geq \frac{7 \sqrt{2}}{5 {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 5.4.2.1.5.7

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 5.4.2.1.5.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$| x | \geq \frac{7 \sqrt{2}}{5 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.4.2.1.5.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| x | \geq \frac{7 \sqrt{2}}{5 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.4.2.1.5.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$| x | \geq \frac{7 \sqrt{2}}{5 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.4.2.1.5.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.4.2.1.5.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$| x | \geq \frac{7 \sqrt{2}}{5 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.4.2.1.5.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$| x | \geq \frac{7 \sqrt{2}}{5 \cdot 2^{1}}$

Schritt 5.4.2.1.5.7.5

Berechne den Exponenten.

$| x | \geq \frac{7 \sqrt{2}}{5 \cdot 2}$

Schritt 5.4.2.1.6

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$| x | \geq \frac{7 \sqrt{2}}{10}$

Schritt 5.5

Schreibe $| x | \geq \frac{7 \sqrt{2}}{10}$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 5.5.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x \geq 0$

Schritt 5.5.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x$ nicht negativ ist.

$x \geq \frac{7 \sqrt{2}}{10}$

Schritt 5.5.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x < 0$

Schritt 5.5.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x$ negativ ist.

$- x \geq \frac{7 \sqrt{2}}{10}$

Schritt 5.5.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x \geq \frac{7 \sqrt{2}}{10} & x \geq 0 \\ - x \geq \frac{7 \sqrt{2}}{10} & x < 0 \end{cases}$

Schritt 5.6

Bestimme die Schnittmenge von $x \geq \frac{7 \sqrt{2}}{10}$ und $x \geq 0$ .

$x \geq \frac{7 \sqrt{2}}{10}$

Schritt 5.7

Teile jeden Ausdruck in $- x \geq \frac{7 \sqrt{2}}{10}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.7.1

Teile jeden Term in $- x \geq \frac{7 \sqrt{2}}{10}$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{\frac{7 \sqrt{2}}{10}}{- 1}$

Schritt 5.7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.7.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} \leq \frac{\frac{7 \sqrt{2}}{10}}{- 1}$

Schritt 5.7.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \leq \frac{\frac{7 \sqrt{2}}{10}}{- 1}$

Schritt 5.7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.7.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\frac{7 \sqrt{2}}{10}}{- 1}$ .

$x \leq - 1 \cdot \frac{7 \sqrt{2}}{10}$

Schritt 5.7.3.2

Schreibe $- 1 \cdot \frac{7 \sqrt{2}}{10}$ als $- \frac{7 \sqrt{2}}{10}$ um.

$x \leq - \frac{7 \sqrt{2}}{10}$

Schritt 5.8

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$x \leq - \frac{7 \sqrt{2}}{10}$ oder $x \geq \frac{7 \sqrt{2}}{10}$

Schritt 6

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - \frac{7 \sqrt{2}}{10}] \cup [\frac{7 \sqrt{2}}{10}, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \leq - \frac{7 \sqrt{2}}{10}, x \geq \frac{7 \sqrt{2}}{10}}$

Schritt 7